面積分割
土地の分割は勿論のこと、
地図を計測したりするのに適宜面積を分割することがあると思います。
面積の分割の仕方は様々ありますが、
ここでは、一般的な方法を見てみたいと思います。
１、面積分割の考え方
面積の分割はどんな複雑な図形でも、
三角形や四角形（四辺形）に細かく分けて計算します。
これは、三角形や四角形の計算なら簡単に出来るからです。
クイズの数学問題で図形が出た時は、
大抵、三角形や四角形に分割して比で計算するやり方になっています。
面積分割も図形を三角形や四角形に分割して比で計算する方法が一般的です。
三角形の面積＝底辺の長さ×底辺に対する垂線の頂点までの長さ÷２
正方形・長方形・平行四辺形の面積＝底辺の長さ×底辺に対する垂線の上底下底間の長さ
台形の面積＝（上底の長さ＋下底の長さ）×底辺に対する垂線の上底下底間の長さ÷２
菱形の面積＝縦の対角線の長さ×横の対角線の長さ÷２
特に三角形の面積と台形の面積はよく計算に使います。
２、三角形の平行定比分割
三角形は辺の長さと面積には以下の相関関係があります。
三角形の３辺をa倍すると面積はaの２乗倍になります。
例えば３辺それぞれの長さを７倍すれば、面積は４９倍になります。
これは、三角形の面積の公式を見ればすぐ分かります。
三角形の面積＝底辺の長さ×底辺に対する垂線の頂点までの長さ÷２
三角形をa倍すると、
三角形の面積＝a底辺の長さ×a底辺に対する垂線の頂点までの長さ÷２
三角形の面積＝aの２乗（底辺の長さ×底辺に対する垂線の頂点までの長さ÷２）
つまり、相似関係の三角形は、
面積の比率＝長さの比率の２乗と言う式がなりたちます。
四角形も五角形も六角形・・・も、それぞれこまかく三角形に分けることが出来るので、
他の図形も同じく、上の式が成り立ちます。
先の式から上の図の三角形ＡＢＣをｍ：ｎに平行分割することを考えてみます。
ぱっと見ると三角形ＡＤＥと台形ＤＢＣＥに分かれるのですが、
三角形と台形だと計算しにくいので、
三角形ＡＢＣと三角形ＡＤＥに分けて考えます。
三角形ＡＤＥは比率ｍ、三角形ＡＢＣは比率ｍ+ｎになるので、
先の式を用いて、
ｍ：ｍ+ｎ＝辺ＡＤの２乗：辺ＡＢの２乗
辺ＡＤの２乗×（ｍ+ｎ）＝辺ＡＢの２乗×ｍ
辺ＡＤの２乗＝辺ＡＢの２乗×ｍ/（ｍ+ｎ）
辺ＡＤ＝√（辺ＡＢの２乗×ｍ/（ｍ+ｎ））
辺ＡＤ＝辺ＡＢ×√（ｍ/（ｍ+ｎ））になります。
同様に、
ｍ：ｍ+ｎ＝辺ＡＥの２乗：辺ＡＣの２乗
辺ＡＥの２乗×（ｍ+ｎ）＝辺ＡＣの２乗×ｍ
辺ＡＥの２乗＝辺ＡＣの２乗×ｍ/（ｍ+ｎ）
辺ＡＥ＝√（辺ＡＣの２乗×ｍ/（ｍ+ｎ））
辺ＡＥ＝辺ＡＣ×√（ｍ/（ｍ+ｎ））になります。
３、三角形の１頂点定比分割
一方、１つの頂点を視点として分割する場合は、
もっと単純になります。
上の三角形ＡＢＣを頂点Ａからの線で分割する場合、
分けるのは辺ＢＣだけで、あとの辺は分割しないので、
単純な比になります。
ｍ：ｍ+ｎ＝辺ＢＤ：辺ＢＣ
辺ＢＤ×（ｍ+ｎ）＝辺ＢＣ×ｍ
辺ＢＤ＝辺ＢＣ×ｍ/（ｍ+ｎ）になります。
同様の比の考え方で、
辺ＤＣ＝辺ＢＣ×ｎ/（ｍ+ｎ）が求められます。
４、三角形の１定点定比分割
では、一つの辺上の１定点から三角形を分割した場合を考えます。
上の三角形ＡＢＣをｍ：ｎで分ける場合、
点Ｅの場所が辺ＢＣ上になるのか、辺ＡＣ上になるのかで、
少し求め方が変わります。
点Ｅの場所を知るには、
先ず、ｍの面積と三角形ＤＢＣの面積を求めます。
ｍ：ｍ+ｎ＝ｍの面積：三角形ＡＢＣ面積
ｍの面積×（ｍ+ｎ）＝三角形ＡＢＣ面積×ｍ
ｍの面積＝三角形ＡＢＣ面積×ｍ/（ｍ+ｎ）
三角形ＤＢＣの面積は辺ＤＢ、ＢＣの長さと挟角Ｂを測り、
辺ＤＢ×辺ＢＣ/２×sin挟角Ｂで計算したり、
三辺の長さを測ってヘロンの公式に代入する方法などで計算します。
使い分けは、その辺が視通出来るかどうかで判断します。
ヘロンの公式
Ｓ＝√（Ｐ×（Ｐ−辺ＤＢ）（Ｐ−辺ＢＣ）（Ｐ−辺ＣＤ））
ただし、Ｐ＝（辺ＤＢ＋辺ＢＣ＋辺ＣＤ）/２
ｍの面積が三角形ＤＢＣより小さい場合、
ｍ+ｎ：ｍ＝辺ＢＣ：辺ＢＥ×辺ＢＤ/辺ＡＢ
辺ＢＥ×辺ＢＤ×（ｍ+ｎ）/辺ＡＢ＝辺ＢＣ×ｍ
辺ＢＥ＝辺ＡＢ×辺ＢＣ×ｍ/辺ＢＤ×（ｍ+ｎ）
ｍの面積が三角形ＤＢＣより大きい場合、
ｍ+ｎ：ｎ＝辺ＡＣ：辺ＡＥ×辺ＡＤ/辺ＡＢ
辺ＡＥ×辺ＡＤ×（ｍ+ｎ）/辺ＡＢ＝辺ＡＣ×ｎ
辺ＡＥ＝辺ＡＢ×辺ＡＣ×ｎ/辺ＡＤ×（ｍ+ｎ）
５、三角形と台形
台形と言うと「うえっ！？」と思われる方もいるかと思いますが、
台形の左右２辺を延長すると三角形になるので、
台形は三角形の一部分と考えると分かりやすくなります。
上の図で、緑と黄色の部分はそれぞれ台形ですが、
左右の辺を延長すると頂点のある三角形になります。
台形の面積の比率は、
台形の上底と下底の長さの差の比率の２乗倍と言う相関関係になります。
「上底と下底の長さの差の比率」なのは、
赤線で囲った部分は緑、黄、両図形とも共通の長さだからです。
左右の斜辺の角度が異なる場合も面積の比率は、
上底と下底の長さの差の比率の２乗倍になります。
これは、頂点を中心にして２つの直角三角形に分けると分かりやすいと思います。
この法則から台形を平行定比分割する場合の分割線の長さは、
ｍ：ｎ＝Ｌの２乗−上底の２乗：下底の２乗−Ｌの２乗
ｍ（下底の２乗−Ｌの２乗）＝ｎ（Ｌの２乗−上底の２乗）
ｍ・下底の２乗−ｍ・Ｌの２乗＝ｎ・Ｌの２乗−ｎ・上底の２乗
ｎ・Ｌの２乗+ｍ・Ｌの２乗＝ｍ・下底の２乗+ｎ・上底の２乗
Ｌの２乗（ｎ+ｍ）＝ｍ・下底の２乗+ｎ・上底の２乗
Ｌの２乗＝（ｍ・下底の２乗+ｎ・上底の２乗）/（ｎ+ｍ）
Ｌ＝√（（ｍ・下底の２乗+ｎ・上底の２乗）/（ｎ+ｍ））
例として、上の図の緑＋黄色の台形を１：４の面積比率で分ける場合の分割線の長さは、
Ｌ＝√（（1・10.928の２乗+4・2.732の２乗）/（4+1）
Ｌ＝√（119.421+29.855）/5
Ｌ＝√29.855
Ｌ＝5.464
６、台形の１定点定比分割
上の図の台形ＡＢＣＤを定点Ｅを基準にｍ：ｎに分ける場合、
ｍの面積と台形ＡＢＣＥの面積を求めます。
ｍ：ｍ+ｎ＝ｍの面積：台形ＡＢＣＤの面積
（ｍ+ｎ）・ｍの面積＝ｍ・台形ＡＢＣＤの面積
ｍの面積＝（ｍ・台形ＡＢＣＤの面積）/（ｍ+ｎ）
ｍの面積が台形ＡＢＣＥより小さい場合、
ｍ：ｍ+ｎ＝辺ＡＥ+辺ＢＦ：辺ＡＤ+辺ＢＣ
※上の比率の式は、台形ｍとｍ+ｎの面積の公式なのですが、
「底辺に対する垂線の上底下底間の長さ」と「÷２」はｍもｍ+ｎも同じで、
相殺されるため、省略。
（辺ＡＥ+辺ＢＦ）・（ｍ+ｎ）＝ｍ・（辺ＡＤ+辺ＢＣ）
（辺ＡＥ+辺ＢＦ）＝ｍ・（辺ＡＤ+辺ＢＣ）/（ｍ+ｎ）
辺ＢＦ＝ｍ・（辺ＡＤ+辺ＢＣ）/（ｍ+ｎ）−辺ＡＥ
ｍの面積が台形ＡＢＣＥより大きい場合、
ｎ：ｍ+ｎ＝辺ＥＤ・Ｌ２：（辺ＡＤ+辺ＢＣ）・Ｌ１
（ｍ+ｎ）・（辺ＥＤ・Ｌ２）＝（辺ＡＤ+辺ＢＣ）・Ｌ１・ｎ
（辺ＥＤ・Ｌ２）＝（（辺ＡＤ+辺ＢＣ）・Ｌ１・ｎ）/（ｍ+ｎ）
Ｌ２＝（（辺ＡＤ+辺ＢＣ）・Ｌ１・ｎ）/（（ｍ+ｎ）・辺ＥＤ）
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